환의 스펙트럼

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1. 개요

환의 스펙트럼은 가환환 R에 대해 소 아이디얼들의 집합으로 정의되며, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주로 가는 반대 함자를 정의한다. R의 아이디얼 I에 대해 I를 포함하는 소 아이디얼들의 집합으로 닫힌 집합을 정의하여 스펙트럼에 위상을 줄 수 있으며, 이를 자리스키 위상이라고 한다. 스펙트럼은 콤팩트 공간이지만 하우스도르프 공간은 아니며, 구조층을 갖는 국소환 달린 공간의 구조를 갖는다. 아핀 스킴은 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이며, 스킴을 정의하는 기본 요소로 사용된다. 스펙트럼 공간은 콤팩트하고 콜모고로프 공간이며, 콤팩트 열린 집합들의 기저를 갖는 공간을 의미한다. 스펙트럼은 함자적 관점, 대수기하학적 관점, 표현론적 관점, 함수해석학적 관점 등 다양한 관점에서 이해할 수 있으며, C*-대수로 일반화될 수 있다. 또한, 상대 스펙트럼이라는 개념도 존재하며, 이는 스킴 위에서 정의된 대수층을 사용하여 스킴을 구성하는 데 사용된다.

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환의 스펙트럼
개요
스펙트럼의 시각적 표현
정의	가환환의 스펙트럼은 그 환의 모든 소 아이디얼들의 집합이다.
관련 항목	자리스키 위상, 아핀 스킴
상세 내용
정의	가환환 의 스펙트럼 은 의 모든 소 아이디얼들의 집합으로, 자리스키 위상이라는 특정한 위상을 갖춘 위상 공간으로 간주된다.
일반점	의 점은 의 소 아이디얼에 해당하며, 이 점을 위상 공간 의 ‘점’이라고 부른다. 의 닫힌 점은 극대 아이디얼에 해당한다. 의 ‘일반점’(영어: generic point)은 의 영 아이디얼 {0}에 해당한다.
아핀 스킴	환의 스펙트럼은 아핀 스킴의 가장 기본적인 예시이다.

2. 정의

가환환 $R$ 의 '''스펙트럼''' $\operatorname{Spec}R$ 은 $R$ 의 소 아이디얼들의 집합이다. 이는 가환환의 범주 $\operatorname{CRing}$ 의 반대 범주에서 집합의 범주로 가는 함자

: $\operatorname{Spec}\colon\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}$

를 정의한다. 이 함자에서, 환 준동형 $\phi\colon R\to S$ 의 상은 다음과 같은 함수이다.

: $\operatorname{Spec}\phi\colon \mathfrak p\mapsto\phi^{-1}(\mathfrak p)$

즉, $\operatorname{Spec}$ 함자는 소 아이디얼을 그 원상으로 대응시킨다. (이는 소 아이디얼의 원상이 또다른 소 아이디얼이므로 가능하다.)

가환환의 스펙트럼은 단순한 집합이 아니라, 국소환 달린 공간의 구조를 갖는다.

2. 1. 자리스키 위상

가환환

R

의 스펙트럼

\operatorname{Spec}(R)

에는 '''자리스키 위상'''이라는 위상이 존재한다.

R

의 아이디얼

I

에 대하여,

I

를 포함하는 모든 소 아이디얼들의 집합을

V_I\subset\operatorname{Spec}(R)

라 한다. 자리스키 위상에서 닫힌집합은 이러한

V_I

들이다.

자리스키 위상의 기저는 다음과 같이 구성할 수 있다.

f\in R

에 대해,

f

를 포함하지 않는

R

의 소 아이디얼들의 집합을

D_f

라 정의한다.

그러면 각

D_f

는

\operatorname{Spec}(R)

의 열린 부분 집합이며,

\big\{D_f:f\in R\big\}

는 자리스키 위상의 기저이다.

자리스키 위상에서,

\operatorname{Spec}(R)

은 콤팩트 공간이며 콜모고로프 공간이지만, 일반적으로 하우스도르프 공간은 아니다.

2. 2. 구조층

가환환의 스펙트럼에는 위상뿐만 아니라 가환환 값의 층 구조가 존재한다. 이 층 구조를 '''구조층'''(structure sheaf^영어)이라고 한다.

f\in R

에 대하여,

f

를 포함하지 않는 소 아이디얼들의 집합

D_f\subset\operatorname{Spec}R

는 자리스키 위상의 기저를 이룬다. '''구조층'''

\Gamma\colon\operatorname{Open}(\operatorname{Spec}R)\to\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

는 다음과 같다.

:

\Gamma(D_f,\mathcal O_X)=R_f

여기서

R_f

는

R

의

\{1,f,f^2,f^3,\dots\}

에 대한 국소화다.

임의의 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R

에서의 줄기

\mathcal O_{\mathfrak p}

는

\mathfrak p

에서의 국소화이다.

:

\mathcal O_{\mathfrak p}=R_{\mathfrak p}

이는 항상 국소환이므로,

\operatorname{Spec}R

는 국소환 달린 공간을 이룬다.

2. 3. 아핀 스킴

'''아핀 스킴'''(affine scheme^영어)은 (1이 있는) 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다. 즉, 위상 공간으로서 가환환의 스펙트럼의 자리스키 위상과 위상동형이고, 그 층의 구조가 서로 동형이다.

아핀 스킴은 스킴을 정의하기 위한 기본적인 구성 요소이다. 예를 들어, 매끄러운 다양체를 유클리드 공간들을 이어붙여 정의하듯, 일반적인 스킴은 아핀 스킴들을 이어붙여 정의한다.

아핀 스킴의 범주는 (1을 가진) 가환환들의 범주

\operatorname{CRing}

의 반대 범주

\operatorname{CRing}^{\operatorname{op}}

와 동치이다.

3. 성질

가환환의 스펙트럼은 항상 콤팩트 공간이며 콜모고로프 공간이다. 대부분의 경우 가환환의 스펙트럼은 하우스도르프 공간이 아니다. 가환환의 스펙트럼과 위상동형인 위상 공간을 '''스펙트럼 공간'''이라고 한다.

위상 공간 $X$ 가 스펙트럼 공간이 될 필요충분조건은 다음 세 조건을 만족시키는 것이다.

$X$ 는 콤팩트 콜모고로프 차분한 공간이다.
$X$ 의 콤팩트 열린집합들의 모임은 $X$ 의 기저를 이룬다.
$X$ 의 두 콤팩트 열린집합 $C_1,C_2\subseteq X$ 에 대하여, $C_1\cap C_2$ 역시 콤팩트 집합이다.

\operatorname{Spec}(R)

은 콤팩트 공간이지만 거의 하우스도르프가 아니다.

R

의 극대 아이디얼은 이 위상에서 정확히 닫힌 점이다. 같은 이유로,

\operatorname{Spec}(R)

은 일반적으로 T₁ 공간이 아니다. 하지만,

\operatorname{Spec}(R)

은 항상 콜모고로프 공간이다.

4. 예

정수의 스펙트럼: 아핀 스킴 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 는 $\mathbb{Z}$ 가 가환환 범주에서 초기 대상이므로 아핀 스킴 범주에서 종대상이다.
$\mathbb{C}^n$ 의 스킴 이론적 유사물: 아핀 스킴 $\mathbb{A}^n_\mathbb{C} = \operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x_1,\ldots, x_n])$ . 점의 함자 관점에서, 점 $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in \mathbb{C}^n$ 은 사상 $\mathbb{C}[x_1,\ldots, x_n]\xrightarrow[ev_{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)}]{} \mathbb{C}$ 을 사용하여 식별할 수 있다.
십자가: $\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[x,y]/(xy))$ 는 위상적으로 두 복소 평면이 한 점에서 횡단적으로 교차하는 것처럼 보인다.
부울 링의 소 스펙트럼은 스톤 공간이다.
M. 호크스터에 따르면, 위상 공간이 가환환의 소 스펙트럼(즉, 스펙트럼 공간)과 위상 동형일 필요충분조건은 컴팩트하고, 준분리 공간이며, 소버 공간인 것이다.

4. 1. 자명한 경우

자명환의 스펙트럼은 공집합인 위상 공간이다.

체의 스펙트럼은 하나의 점(영 아이디얼)만을 포함한다.

소수

p

에 대하여, 정수환의 몫환

\mathbb Z/(p^n)

의 소 아이디얼은

(p)

밖에 없다. 따라서, 그 스펙트럼은 한원소 공간이다.

4. 2. 정수환

정수의 환 math\mathbb Z/math의 스펙트럼 math\operatorname{Spec}\mathbb Z/math를 생각하자. 집합으로서, math\operatorname{Spec}(\mathbb Z)/math의 원소는 아이디얼 math(k)/math (mathk/math는 0 또는 소수 2, 3, 5, 7, …)이다. 여기에 자리스키 위상에 따라, 닫힌집합들은 math\{(k)|k\in K\}/math (mathK/math는 소수의 유한 집합) 또는 math\operatorname{Spec}\mathbb Z/math 전체이다. 즉, math(0)/math을 제외한 다른 모든 점들은 닫혀 있다. math\{(0)\}/math은 닫혀 있지 않고, 그 폐포는 math\operatorname{cl}\{(0)\}=\operatorname{Spec}\mathbb Z/math 전체이다. 이러한 점(그 폐포가 공간 전체인 점)을 '''일반점'''이라고 한다.

정수환의 스펙트럼은 1차원 아핀 스킴을 이룬다. 닫힌 점들은 소수들에 대응하고, 이 밖에도 일반점 (0)이 있다.

math\operatorname{Spec}\mathbb Z/math는 크룰 차원이 1인 아핀 스킴이며, 이는 스킴의 범주의 끝 대상이다.

4. 3. 대수적으로 닫힌 체의 다항식환

k

가 대수적으로 닫힌 체일 때, 다항식환

k[x_1,\dots,x_n]

의 스펙트럼의 원소들은 아핀 대수다양체

V\subset\mathbb A^n_k

와 일대일 대응하며, 다음과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.

극대 아이디얼 $(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ 들은 고전적 아핀 공간 $k^n$ 의 점 $(a_1,\dots,a_n)\in k^n$ 에 대응한다. 이들은 아핀 스킴의 닫힌 점들이다.
점이 아닌 각 아핀 대수다양체 $V\subset\mathbb A^n_k$ 에도 소 아이디얼이 대응된다. 이는 $V$ 를 근의 부분 집합으로 포함하는 모든 다항식의 집합 $\mathcal I(V)$ 이다. 이 점들은 닫혀있지 않으며, 그 폐포는 대응되는 아핀 대수다양체 전체이다. 이들은 아핀 대수다양체에 대응하는 일반점이다.
아핀 공간 전체에 대응하는 아이디얼 $(0)$ 이 있으며, 그 폐포는 스펙트럼 전체이다. 이는 아핀 공간 전체에 대응하는 일반점이다.

4. 4. 대수적으로 닫히지 않은 체의 다항식환

k

가 대수적으로 닫히지 않은 체이고,

\bar k

가 그 대수적 폐포라면, 포함 사상

k[x_1,\dots,x_n]\hookrightarrow\bar k[x_1,\dots,x_n]

이 있고, 이는 아핀 스킴 사이의 사상

\mathbb A^n_{\bar k}\to\mathbb A^n_k

를 발생시킨다.

예를 들어,

\mathbb A^1_{\mathbb R}

을 생각하면,

\mathbb C[x]

의 극대 아이디얼

(x-a)

의 원상은 다음과 같다.

$a\in\mathbb R$ 인 경우, $(x-a)\subset\mathbb R[x]$
$a\in\mathbb C\setminus\mathbb R$ 인 경우, $((x-a)(x-\bar a))=(x-2(a+\bar a)x+a\bar a)\subset\mathbb R[x]$

따라서,

\mathbb A^1_{\mathbb R}

의 점들은 다음과 같다.

$(x-a)$ , $a\in\mathbb R$ . 이는 고전적 1차원 아핀 공간 $\mathbb R$ 과 일대일 대응하며, 닫힌 점이다.
$((x-a)(x-\bar a))$ , $a\in\mathbb C\setminus\mathbb R$ . 이 또한 닫힌 점이다. 이는 열린 복소수 상반평면 $\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z>0\}$ 과 일대일 대응한다.
$(0)$ . 이는 아핀 공간 전체에 대응하며, 그 폐포는 스펙트럼 전체다.

1차원의 경우에는 자명하지 않은 부분 대수다양체가 없다. 따라서, 1차원 실수 아핀 스킴은 닫힌 복소 반평면

\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Re}z\ge0\}

으로 해석할 수 있다.

일반적으로,

\mathbb A^n_k

는

\mathbb A^n_{\bar k}

의 갈루아 군

\operatorname{Aut}(\bar k/k)

의 작용에 대한 몫공간(궤도들의 집합)으로 생각할 수 있다.

\operatorname{Aut}(\mathbb C/\mathbb R)

의 경우, 갈루아 군의 작용은

z\mapsto\bar z

이므로, 그 몫공간은 닫힌 복소수 상반평면이다.

4. 5. 정수 계수 다항식환

정수 계수 다항식환

\mathbb Z[x]

의 스펙트럼

\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]

을 생각하자.

\operatorname{Spec}\mathbb Z[x]

의 점은 포함 사상

\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Z[x]

에 대응되는 스킴 사영 사상

:

\pi \colon \operatorname{Spec}\mathbb Z[x] \to \operatorname{Spec}\mathbb Z

을 통해

\operatorname{Spec}\mathbb Z

의 한 점에 대응된다.

\pi

의

(p)

위의 올은 유한체 위의 아핀 직선

\operatorname{Spec}\mathbb F_p[x]

이다.

\mathbb F_p[x]

는 주 아이디얼 정역이므로, 이에 속하는 소 아이디얼은 0 또는 유한체 계수의 기약 다항식

f\in\mathbb F_p[x]

에 의하여 분류된다.

\pi

의

(0)

위의 올은 유리수체 위의 아핀 직선

\operatorname{Spec}\mathbb Q[x]

이다.

\mathbb Q[x]

는 주 아이디얼 정역이므로, 이에 속하는 소 아이디얼은 0 또는 유리수 계수의 기약 다항식

f\in\mathbb Q[x]

에 의하여 분류된다.

이를 정리하면 높이에 따라 다음과 같다.

높이	닫힌점?	설명
0	아니오	일반점 $(0)$ (영 아이디얼)
1	아니오	$(p)$ ( $p$ 는 소수)
1	아니오	$(f)$ ( $f\in\mathbb Q[x]$ 는 기약 다항식)
2	예	$(p,f)$ ( $p$ 는 소수, $f\in\mathbb F_p[x]$ 는 기약 다항식)

즉, 그 점들은 일종의 2차원 좌표로 표현될 수 있다. ( $\mathbb Z[x]$ 의 크룰 차원은 2이다.)

style="color:red" \|				⋯
(0)	(2)	(3)	(5)	⋯

이 표에서 닫힌점은 검은색이며, 닫힌점이 아닌 점은 붉은색이다. 높이가 1인 점(의 폐포)은 이 ‘곡면’ 속의 일종의 곡선으로 여길 수 있다.

5. 다른 관점

환의 스펙트럼은 수학의 여러 분야에서 다양한 관점으로 해석되고 활용된다.
대수기하학적 관점:대수기하학에서 환의 스펙트럼은 대수적 집합을 일반화하는 개념이다. 대수적 집합이 다항식들의 공통 근으로 정의되는 $K^n$ 의 부분 집합이라면, 환의 스펙트럼은 이러한 대수적 집합의 점뿐만 아니라 부분 다양체까지 포함하는 더 넓은 공간이다.

$A$ 가 대수적 집합일 때, 모든 다항식 함수 $A\to K$ 들의 가환환 $R$ 을 생각할 수 있다. $K$ 가 대수적으로 닫힌 체라면, $R$ 의 극대 아이디얼은 $A$ 의 점에 대응되고, $R$ 의 소 아이디얼은 $A$ 의 부분 다양체에 대응된다. 따라서 $R$ 의 스펙트럼은 $A$ 의 점과 모든 부분 다양체를 포함하는 공간으로 볼 수 있다.
표현론적 관점:표현론에서 환의 스펙트럼은 환의 기약 순환 표현과 관련된다. 소 아이디얼 ''I''는 모듈 ''R''/''I''에 대응되며, 환의 스펙트럼은 ''R''의 기약 순환 표현을 나타낸다.

다항식 환 $R=K[x_1,\dots,x_n]$ 을 생각하면, 아이디얼 ''I''에 대응하는 모듈 $R/I$ 는 ''R''의 순환 표현이다. 체가 대수적으로 닫힌 경우, 모든 극대 아이디얼은 ''n''차원 공간의 점에 대응된다. 따라서 $K^n$ 의 표현은 ''n''개의 숫자의 집합으로 주어지며, 이는 환의 스펙트럼과 표현론 간의 관계를 보여준다.
함수해석학적 관점:함수해석학에서 "스펙트럼"이라는 용어는 작용소 이론에서 유래되었다.^[2] 유한 차원 벡터 공간 ''V'' 위의 선형 작용소 ''T''가 주어지면, 작용소를 가진 벡터 공간을 일변수 다항식 환 ''K''[''T''] 위의 가군으로 간주할 수 있다. 이때 ''K''[''T'']의 스펙트럼은 ''T''의 스펙트럼과 같다.^[2]

환의 스펙트럼의 기하학적 구조는 작용소 스펙트럼의 동작을 포착한다. 예를 들어, 고유값과 최소 다항식 등의 개념이 환의 스펙트럼의 구조와 연결된다.^[2]

5. 1. 함자적 관점

Spec은 가환환의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 반변 함자이며, 더 나아가 국소환 달린 공간의 범주로 가는 반변 함자이다. 모든 환 준동형

f: R \to S

는 연속 사상

\operatorname{Spec}(f): \operatorname{Spec}(S) \to \operatorname{Spec}(R)

을 유도한다. 왜냐하면

S

의 소 아이디얼의 역상은

R

의 소 아이디얼이기 때문이다. 이런 식으로,

\operatorname{Spec}

은 가환환 범주에서 위상 공간 범주로 가는 반변 함자로 볼 수 있다.

또한, 모든 소수

\mathfrak{p}

에 대해 준동형

f

는 국소환의 준동형

:

\mathcal{O}_{f^{-1}(\mathfrak{p})} \to \mathcal{O}_\mathfrak{p}

으로 내려간다. 따라서

\operatorname{Spec}

은 가환환 범주에서 국소환 달린 공간 범주로 가는 반변 함자를 정의한다.

Spec 함자는 가환환 범주와 아핀 스킴의 범주 사이의 반변 범주 동치를 유도한다.

5. 2. 대수기하학적 관점

대수기하학에서 ''대수적 집합''은

K^n

의 부분 집합으로,

n

개의 변수를 갖는 다항식들의 공통 근으로 정의된다.

A

가 그러한 대수적 집합이라면, 모든 다항식 함수

A\to K

들의 가환환

R

을 생각할 수 있다.

R

의 극대 아이디얼은

A

의 점에 대응하고 (

K

가 대수적으로 닫힌 체이기 때문),

R

의 소 아이디얼은

A

의 ''부분 다양체''에 대응한다. (대수적 집합은 두 개의 진 부분 대수 집합의 합집합으로 표현될 수 없을 때 기약적 또는 다양체라고 불린다.)

따라서

R

의 스펙트럼은

A

의 점과

A

의 모든 부분 다양체에 대한 원소로 구성된다.

A

의 점은 스펙트럼에서 닫혀 있는 반면, 부분 다양체에 해당하는 원소는 모든 점과 부분 다양체로 구성된 폐포를 갖는다.

A

의 점, 즉

R

의 극대 아이디얼만 고려한다면, 위에서 정의된 자리스키 위상은 대수적 집합에서 정의된 자리스키 위상과 일치한다 (이 위상은 정확히 대수적 부분 집합을 닫힌 집합으로 갖는다). 구체적으로,

R

의 극대 아이디얼(

\operatorname{MaxSpec}(R)

)은 자리스키 위상을 가질 때

A

와 위상동형이다.

이러한 관점에서, 위상 공간

\operatorname{Spec}(R)

을 위상 공간

A

(자리스키 위상)의 "보강"으로 볼 수 있다. 즉,

A

의 모든 부분 다양체에 대해 하나의 추가적인 비닫힌 점이 도입되었으며, 이 점은 해당 부분 다양체를 "추적"한다. 이 점을 부분 다양체의 일반점으로 생각한다. 또한,

\operatorname{Spec}(R)

의 구조 층과

A

의 다항식 함수 층은 본질적으로 동일하다.

이처럼 자리스키 위상을 갖는 대수적 집합 대신 다항식 환의 스펙트럼을 연구함으로써, 대수기하학의 개념을 대수적으로 닫히지 않은 체 등으로 일반화할 수 있으며, 이는 결국 스키마의 언어로 이어진다.

5. 3. 표현론적 관점

표현론의 관점에서, 소 아이디얼 ''I''는 모듈 ''R''/''I''에 대응되며, 환의 스펙트럼은 ''R''의 기약 순환 표현에 대응한다. 더 일반적인 부분다양체는 순환적일 필요가 없는, 아마도 가약적인 표현에 대응한다. 추상적으로, 군의 표현론은 해당 군 대수 위의 모듈 연구임을 상기하자.

표현론과의 연결은 다항식 환

R=K[x_1,\dots,x_n]

또는 기저가 없는

R=K[V]

를 고려하면 더 명확해진다. 후자의 공식에서 분명히 알 수 있듯이, 다항식 환은 벡터 공간 위의 군 대수이며,

x_i

로 표현하는 것은 벡터 공간의 기저를 선택하는 것에 해당한다. 그러면 아이디얼 ''I,'' 또는 이에 상응하는 모듈

R/I,

는 ''R''의 순환 표현이다 (순환적이란 ''R''-모듈로서 1개의 원소에 의해 생성됨을 의미하며, 이는 1차원 표현을 일반화한다).

체가 대수적으로 닫힌 경우 (예: 복소수) 모든 극대 아이디얼은 영점 정리에 의해 ''n''차원 공간의 점에 대응한다 (

(x_1-a_1), (x_2-a_2),\ldots,(x_n-a_n)

에 의해 생성된 극대 아이디얼은 점

(a_1,\ldots,a_n)

에 대응한다). 그런 다음

K[V]

의 이러한 표현은 쌍대 공간

V^*,

에 의해 매개변수화되며, 각

x_i

를 해당

a_i

로 보내는 것으로 공벡터가 주어진다. 따라서

K^n

(''K''-선형 사상

K^n \to K

)의 표현은 ''n''개의 숫자의 집합, 또는 이에 상응하는 공벡터

K^n \to K.

에 의해 주어진다.

따라서, ''n''차원 공간의 점은

R=K[x_1,\dots,x_n]

의 최대 스펙으로 간주되며, ''R''의 정확히 1차원 표현에 해당하며, 유한 점 집합은 유한 차원 표현에 해당한다 (이는 가약적이며, 기하학적으로는 합집합에 해당하고 대수적으로는 소 아이디얼이 아닌 것에 해당한다). 비극대 아이디얼은 그러면 ''무한'' 차원 표현에 해당한다.

5. 4. 함수해석학적 관점

"스펙트럼"이라는 용어는 작용소 이론에서 유래되었다.^[2] 유한 차원 벡터 공간 ''V'' 위의 선형 작용소 ''T''가 주어지면, 작용소를 가진 벡터 공간을 일변수 다항식 환 ''K''[''T''] 위의 가군으로 간주할 수 있다. 이때 (환으로서의) ''K''[''T'']의 스펙트럼은 (작용소로서의) ''T''의 스펙트럼과 같다.^[2]

환의 스펙트럼의 기하학적 구조는 작용소 스펙트럼의 동작을 포착한다. 예를 들어, 2×2 단위 행렬에 대응하는 가군은 다음과 같다.^[2]

:

K[T]/(T-1) \oplus K[T]/(T-1)

2×2 영행렬에 대응하는 가군은 다음과 같다.

:

K[T]/(T-0) \oplus K[T]/(T-0)

이는 영 고유값에 대한 기하적 중복도가 2임을 보여준다. 반면, 비자명 2×2 멱영 행렬에 대응하는 가군은 다음과 같다.

:

K[T]/T^2

이는 대수적 중복도는 2이지만 기하적 중복도는 1임을 보여준다.^[2]

더 자세히 설명하면 다음과 같다.^[2]

작용소의 고유값(기하적 중복도 포함)은 다양체의 (축소된) 점에 중복도를 가지고 대응된다.
가군의 일차 분해는 다양체의 비축소점에 대응된다.
대각화 가능(반 단순) 작용소는 축소된 다양체에 대응된다.
순환 가군(하나의 생성자)은 작용소가 순환 벡터 (''T''에 따른 궤도가 공간을 생성하는 벡터)를 갖는 것에 대응된다.
가군의 마지막 불변 인수는 작용소의 최소 다항식과 같고, 불변 인수의 곱은 특성 다항식과 같다.

6. 일반화

스펙트럼은 작용소 이론에서 C*-대수로 일반화될 수 있으며, 이는 C*-대수의 스펙트럼 개념을 낳는다.^[1] 특히, 하우스도르프 공간의 경우, 스칼라 대수(공간에 대한 유계 연속 함수, 정칙 함수와 유사함)는 '가환' C*-대수이며, 공간은 대수의 $\operatorname{MaxSpec}$ 으로부터 위상 공간으로 복구될 수 있으며, 실제로 함수적으로도 가능하다.^[1] 이는 바나흐-스톤 정리의 내용이다.^[1] 실제로, 모든 가환 C*-대수는 이러한 방식으로 하우스도르프 공간의 스칼라 대수로 실현될 수 있으며, 이는 링과 스펙트럼 간의 동일한 대응을 낳는다.^[1] '비' 가환 C*-대수로 일반화하면 비가환 위상수학이 생성된다.^[1]

7. 상대 스펙트럼

환의 스펙트럼 $\operatorname{Spec}$ 에는 전역 $\operatorname{Spec}$ 또는 상대 $\operatorname{Spec}$ 이라고 불리는 상대적인 버전이 있다. $S$ 가 스킴이면, 상대 $\operatorname{Spec}$ 은 $\underline{\operatorname{Spec}}_S$ 또는 $\mathbf{Spec}_S$ 로 표기한다. $S$ 가 문맥상 명확하면 상대 Spec은 $\underline{\operatorname{Spec}}$ 또는 $\mathbf{Spec}$ 으로 표기할 수 있다. 스킴 $S$ 와 준연접 $\mathcal{O}_S$ -대수층 $\mathcal{A}$ 에 대해, 스킴 $\underline{\operatorname{Spec}}_S(\mathcal{A})$ 와 사상 $f : \underline{\operatorname{Spec}}_S(\mathcal{A}) \to S$ 가 존재하여 모든 열린 아핀 집합 $U \subseteq S$ 에 대해 동형 사상 $f^{-1}(U) \cong \operatorname{Spec}(\mathcal{A}(U))$ 이 존재하고, 열린 아핀 집합 $V \subseteq U$ 에 대해 포함 사상 $f^{-1}(V) \to f^{-1}(U)$ 가 제한 사상 $\mathcal{A}(U) \to \mathcal{A}(V)$ 에 의해 유도된다. 즉, 환 준동형 사상이 스펙트럼의 반대 사상을 유도하듯이, 대수층의 제한 사상은 층의 '''Spec'''을 구성하는 스펙트럼의 포함 사상을 유도한다.

전역 Spec은 일반 Spec의 보편 성질과 유사한 보편 성질을 갖는다. 더 정확하게 말하면, Spec과 전역 단면 함자가 가환환과 스킴의 범주 사이에서 반변수 오른쪽 수반 함자인 것처럼, 전역 Spec과 구조 사상의 직접 이미지 함자는 가환 $\mathcal{O}_S$ -대수의 범주와 $S$ 위의 스킴의 범주 사이에서 반변수 오른쪽 수반 함자이다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

: $\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_S\text{-alg}}(\mathcal{A}, \pi_*\mathcal{O}_X) \cong \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/S}(X, \mathbf{Spec}(\mathcal{A})),$

여기서 $\pi \colon X \to S$ 는 스킴의 사상이다.

상대 스펙은 $\mathbb{A}^2_\mathbb{C}$ 의 원점을 지나는 일련의 선들을 $X = \mathbb{P}^1_{a,b}$ 위에서 매개변수화하는 데 적합한 도구이다. 대수 다발 $\mathcal{A} = \mathcal{O}_X[x,y]$ 를 고려하고, $\mathcal{I} = (ay-bx)$ 를 $\mathcal{A}$ 의 아이디얼 다발로 둔다. 그러면 상대 스펙 $\underline{\operatorname{Spec}}_X(\mathcal{A}/\mathcal{I}) \to \mathbb{P}^1_{a,b}$ 는 원하는 일련의 선들을 매개변수화한다. 실제로, $[\alpha:\beta]$ 위의 올은 점 $(\alpha,\beta)$ 를 포함하는 $\mathbb{A}^2$ 의 원점을 지나는 선이다. $\alpha \neq 0$ 라고 가정하면, 올은 다음 당김 그림의 합성을 살펴보는 것으로 계산할 수 있다.

: $\begin{matrix}\operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{\left(y-\frac{\beta}{\alpha}x\right)} \right) & \to & \operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}\left[\frac{b}{a}\right] [x,y]}{\left(y-\frac{b}{a}x\right)} \right) & \to & \underline{\operatorname{Spec}}_X\left( \frac{\mathcal{O}_X[x,y]}{\left(ay-bx\right)} \right)\\\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\\operatorname{Spec}(\mathbb{C})& \to & \operatorname{Spec}\left(\mathbb{C}\left[\frac{b}{a}\right]\right)=U_a & \to & \mathbb{P}^1_{a,b}\end{matrix}$

여기서 아래 화살표의 합성

: $\operatorname{Spec}(\mathbb{C})\xrightarrow{[\alpha:\beta]} \mathbb{P}^1_{a,b}$

는 점 $(\alpha,\beta)$ 와 원점을 포함하는 선을 제공한다. 이 예는 $\mathcal{A} = \mathcal{O}_X[x_0,...,x_n]$ 및 $\mathcal{I} = \left( 2\times 2 \text{ 행렬식 } \begin{pmatrix}a_0 & \cdots & a_n \\x_0 & \cdots & x_n\end{pmatrix} \right)$ 을 설정하여 $X = \mathbb{P}^n_{a_0,...,a_n}$ 위에서 $\mathbb{A}^{n+1}_\mathbb{C}$ 의 원점을 지나는 일련의 선들을 매개변수화하도록 일반화될 수 있다.

참조

_[1] 웹사이트 https://www.math.ias[...]
_[2] 서적 Encyclopedia of General Topology Elsevier

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